Question

17．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4$\sqrt{5}$，则F到一条渐近线的距离为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据渐近线的斜率得到b=2a，求出交点A，B的坐标，结合三角形的面积求出a，b，c，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的斜率为2，
则y=$\frac{b}{a}$x=2x，即$\frac{b}{a}$=2，即b=2a，
当x=c时，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
即y²=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，即A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）
则，△OAB（O为坐标原点）的面积为4$\sqrt{5}$，
即S=$\frac{1}{2}$×c×$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4$\sqrt{5}$，
即cb²=4$\sqrt{5}$a，
∵b=2a，
∴4ca²=4$\sqrt{5}$a，
则ac=$\sqrt{5}$，即a²c²=a²（a²+4a²）=5a⁴=5，则a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$
则F（c，0）到一条渐近线y-2x=0的距离为d=$\frac{|-2c|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2c}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线的性质，根据渐近线，和三角形的面积关系求出a，b，c．利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．