题目内容
6．过双曲线x2-$\frac{y^2}{15}$=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x-4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为（ ）| A． | 10 | B． | 13 | C． | 16 | D． | 19 |
分析 求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦点为F1（-4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
解答 
解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（-4，0），半径为r1=2；
圆C2：（x-4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，
设双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦点为F1（-4，0），F2（4，0），
连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得
|PM|2-|PN|2=（|PF1|2-r12）-（|PF2|2-r22）
=（|PF1|2-4）-（|PF2|2-1）
=|PF1|2-|PF2|2-3=（|PF1|-|PF2|）（|PF1|+|PF2|）-3
=2a（|PF1|+|PF2|-3=2（|PF1|+|PF2|）-3≥2•2c-3=2•8-3=13．
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选B．
点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．
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| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 3 |
14．已知倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ |
1．若直线y=x-2过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y2=1（a＞0）的焦点，则此双曲线C的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x | B． | y=$±\sqrt{3}$x | C． | y=±$\frac{1}{3}$x | D． | y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$x |
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| A． | $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
15．已知F1、F2分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（ ）
| A． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{7}$ |