题目内容
5．P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1，F2是焦点，PF1与渐近线平行，∠F1PF2=90°，则双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\sqrt{5}$ |
分析 求出双曲线的渐近线方程，根据直线平行的关系结合直角三角形的边角关系，求出a，c的关系即可得到结论．
解答 
解：双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则$tanα=\frac{b}{a}$，∴$sinα=\frac{b}{c}$，$cosα=\frac{a}{c}$，
∴$sinβ=cosα=\frac{a}{c}$，$\frac{{|{P{F_2}}|-|{P{F_1}}|}}{sinα-sinβ}=\frac{{|{{F_1}{F_2}}|}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$，
∴$\frac{2a}{{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}}=\frac{2c}{1}$，
∴2a=b，c2-a2=4a2，即c2=5a2，c=$\sqrt{5}$a，
∴$e=\sqrt{5}$，
故选D．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，根据直线平行和直角三角形的边角关系建立方程是解决本题的关键．考查运算能力．
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10．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（ ）
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | 3 |
17．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一条渐近线的斜率为2，过右焦点F作x轴的垂线交双曲线与A，B两点，△OAB（O为坐标原点）的面积为4$\sqrt{5}$，则F到一条渐近线的距离为（ ）
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 3 |
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| A． | $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ |
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| A． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | $\sqrt{7}$ |