Question

16．若n是正整数，则${7^n}+{7^{n-1}}C_n^1+{7^{n-2}}C_n^2+…+7C_n^{n-1}$除以9的余数是0或7．

Answer 1

分析 把原式还原成二项式定理．利用二项式定理展开，对n的奇偶性讨论，可得答案．

解答 解：${7^n}+{7^{n-1}}C_n^1+{7^{n-2}}C_n^2+…+7C_n^{n-1}$=（7+1）ⁿ-1=8ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1}+{C}_{n}^{n}{9}^{0}（-1）^{n}-1$
①n是正偶数，则原式=（9-1）ⁿ-1=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1$
每项都是9的倍数．
∴这整个式子都可以被9整除，此时余数为0．
②若n是正奇数，则原式=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1}+{C}_{n}^{n}{9}^{0}（-1）^{n}-1$．
=${C}_{n}^{0}{9}^{n}{+C}_{n}^{1}{9}^{n-1}（-1$）+…+${C}_{n}^{n-1}{9}^{1}（-1）^{n-1}-2$．
∵-2不能整除9
∴余数就应该是7．
综上，余数应该是0或7．
故答案为：0或7．

点评 本题考查了二项式定理的灵活运用和整除问题．属于中档题．