Question

5．过点P（1，t）作曲线y=x³-3x的切线，若这样的切线恰好能做2条，则实数t的值为-3或-2．

Answer 1

分析 设切点为（a，a³-3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点AP代入切线方程，可得关于a的方程有两个不同的解，利用参变量分离可得2a³-3a²=-3-t，令g（x）=2x³-3x²，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=-3-t有两个不同的交点，即可得到实数t的值．

解答 解：设切点为（a，a³-3a），
∵f（x）=x³-3x，
∴f'（x）=3x²-3，
∴切线的斜率k=f′（a）=3a²-3，
由点斜式可得切线方程为y-（a³-3a）=（3a²-3）（x-a），
∵切线过点P（1，t），
∴t-（a³-3a）=（3a²-3）（1-a），即2a³-3a²=-3-t，
∵过点P（1，t）可作曲线y=f（x）的切线恰好能做2条，
∴关于a的方程2a³-3a²=-3-t有两个不同的根，
令g（x）=2x³-3x²，
∴g′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1，
当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，
当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=-1，
关于a的方程2a³-3a²=-3-t有两个不同的根，等价于y=g（x）与y=-3-t的图象有两个不同的交点，
∴-3-t=-1或-3-t=0，
∴t=-2或t=-3．
故答案为：-3或-2．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．