Question

14．已知函数f（x）=e^x+2ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x²+1＜e^x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的导数，求得点A（0，1），可得切线的斜率，解方程可得a=-1；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²-1，求出导数，再由（Ⅰ）可得g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）递增，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+2ax，得f'（x）=e^x+2a，
令x=0，可得f（0）=1，
可得y=f（x）在点A（0，1）处的切线斜率为e⁰+2a=-1，
即2a=-2，解得a=-1；
f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
当x＞ln2时，可得f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜ln2时，可得f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=ln2处，取得极小值，
且为2-2ln2，无极大值；
（Ⅱ）证明：令g（x）=e^x-x²-1，
则g'（x）=e^x-2x，
由（Ⅰ）得，g（x）在x=ln2处，取得极小值，
且为最小值2-2ln2，
由2-2ln2＞0，
即有g′（x）＞0，
则g（x）在（0，+∞）递增，
可得g（x）＞g（0）=0，
即当x＞0时，x²+1＜e^x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求得导数，判断单调性，考查运算化简能力，属于中档题．