Question

11．如图1，直角△ACD中，AD=2AC，AB是斜边上的高，BE⊥AC，BF⊥AD，沿AB将△ACD折成棱锥A-BCD（图2），且CD⊥BC．

（Ⅰ） DC⊥BE；
（Ⅱ） 求BF与平面ACD所成的角．

Answer 1

分析 （1）棱锥中的垂直关系，在平面图形中分析出来，运用线面垂直的判断定理，证得CD⊥平面ABC，由线面垂直性质，得出DC⊥BE．
（2）由（1）分析位置关系时，易发现BE⊥平面ACD，故EF为BF在平面ACD的投影，∠BFE为所求角，再构造三角形求解．

解答 （Ⅰ）证明：AB是斜边上的高，沿AB将△ACD折成棱锥A-BCD，
有AB⊥BC，AB⊥BD，且BC?平面BCD，BD?平面BCD
∴AB⊥平面BCD．   …1分   
又CD?平面BCD
∴AB⊥CD．      …3分
又CD⊥BC，且AB?平面ABC、BC?平面ABC
∴CD⊥平面ABC．      …5分
又∵BE?平面ABC
所以DC⊥BE      …6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥BE，且由题 BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACD． …7分
所以BF在平面ACD内的射影就是EF，
∴BF与平面ACD所成的角就是∠BFE，且△BDF为RT△．…8分
∴$sin∠BFE=\frac{BE}{BF}$，…9分
∵在平面图中$\frac{BE}{BF}=\frac{BE}{AE}=\frac{AC}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$sin∠BFE=\frac{1}{2}$       …11分
∴∠BFE=30°，即BF与平面ACD所成的角为30°．  …12分

点评 本题考查线面垂直的判定定理及性质，考查了用几何法求线面角（找角--证角--求角）．第二问中，发现EF是BF在平面ACD的投影，是解决第二问的关键．本题属于中档题．