Question

13．已知函数f（x）=|ax²-8x|（a＞0）．
（1）当a≤8时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）设b∈R，若存在实数a，使得函数y=|f（x）-2|在区间[0，b]上单调递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（-1）=|a+8|＞f（1）=|a-8|，$f（\frac{4}{a}）=\frac{16}{a}≥2$，分类讨论，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值；
（2）y=|f（x）-2|=||ax²-8x|-2|，对称轴$x=\frac{4}{a}$，分类讨论，利用函数y=|f（x）-2|在区间[0，b]上单调递减，建立不等式，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）f（-1）=|a+8|＞f（1）=|a-8|，$f（\frac{4}{a}）=\frac{16}{a}≥2$，
①当0＜a≤4时，即$1≤\frac{4}{a}$，则f（x）_max=f（-1）=a+8；
②当4＜a≤8时，f（x）_max=f（-1）=a+8或$f（\frac{4}{a}）=\frac{16}{a}$，
当$a+8=\frac{16}{a}$时，$a=4\sqrt{2}-4$，所以当$a＞4\sqrt{2}-4$时，f（x）_max=f（-1）=a+8．
综上，f（x）_max=a+8．
（2）y=|f（x）-2|=||ax²-8x|-2|，对称轴$x=\frac{4}{a}$，
①a≥8时，要使函数y=|f（x）-2|在区间[0，b]上单调递减，
则$[0，b]⊆[0，\frac{4}{a}]$，即$b≤\frac{4}{a}$，
又因为$0＜\frac{4}{a}≤\frac{1}{2}$，所以$b≤\frac{1}{2}$；
②当0＜a＜8时，${x_2}=\frac{{4-\sqrt{16-2a}}}{a}$，要使函数y=|f（x）-2|在区间[0，b]上单调递减，
则$[0，b]⊆[0，\frac{{4-\sqrt{16-2a}}}{a}]$，即$b≤\frac{{4-\sqrt{16-2a}}}{a}=\frac{2}{{4+\sqrt{16-2a}}}$，
又因为$0＜\sqrt{16-2a}＜4$，∴$4＜4+\sqrt{16-2a}＜8$，∴$\frac{1}{4}＜\frac{2}{{4+\sqrt{16-2a}}}＜\frac{1}{2}$，即$b＜\frac{1}{2}$．
综上，b≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．