Question

16．（1）在所给的平面直角坐标系内，画出函数f（x）=x²-2x（x∉R）的图象，根据图象写出函数f（x）的单调递减区间并用定义证明；
（2）求函数f（x）=x²-2x，x∈[a，a+1]（其中a为实数）的最小值．

Answer 1

分析 （1）确定二次函数的图象关键因素（开口方向、对称轴、顶点坐标），由图象可直接写出单调区间；
（2）根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，得到函数的最小值．

解答 解：（1）图象如图：
减区间为：（-∞，1]；
证明：设x₁＜x₂≤1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁-（${{x}_{2}}^{2}$-2x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0，
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）单调减区间为（-∞，1]．
（2）①当a+1≤1即a≤0时，[a，a+1]⊆（-∞，1]，则f（x）在[a，a+1]上是减函数，
∴当x=a+1时，函数f（x）=x²-2x的最小值f（a+1）=a²-1．
同理，②当0＜a≤1时，函数f（x）=x²-2x的最小值f（1）=-1．
③当a＞1时，函数f（x）=x²-2x的最小值f（a）=a²-2a．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想的应用，数形结合思想的应用，考查计算能力．