Question

13．椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1和双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1共同焦点为F₁，F₂，若P是两曲线的一个交点，则$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$的值为11．

Answer 1

分析 设P在双曲线的右支上，再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，结合向量数量积的定义即可求出PF₁•PF₂的值．

解答 解：因为椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1和双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1有共同的焦点F₁、F₂，
所以c=3；椭圆中的a=5，双曲线中的a'=2，
设P在双曲线的右支上，左右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a=10  ①
|PF₁|-|PF₂|=2a'=4  ②
由①②得：|PF₁|=7，|PF₂|=3．|F₁F₂|=2c=6，
则cos＜$\overrightarrow{P{F_1}}$，$\overrightarrow{P{F_2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=$\frac{49+9-36}{2×7×3}=\frac{22}{42}$=$\frac{11}{21}$
则$\overrightarrow{P{F_1}}$•$\overrightarrow{P{F_2}}$=|$\overrightarrow{P{F_1}}$|•|$\overrightarrow{P{F_2}}$|cos＜$\overrightarrow{P{F_1}}$，$\overrightarrow{P{F_2}}$＞=7×3×$\frac{11}{21}$=11
故答案为：11．

点评 本题主要考查向量数量积的计算，根据双曲线和椭圆的定义是解决本题的关键．