题目内容
19．设一直棱柱的底面是边长为2$\sqrt{2}$正方形，棱柱的顶点都在同一个球面上，且这个球面的表面积为64π，则该四棱柱的对角线与底面成的角是（ ）| A． | 30° | B． | 38° | C． | 45° | D． | 60° |
分析 由已知求出直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2$\sqrt{2}$正方形，BD=4，BD1=2R=8，∠D1BD是该四棱柱的对角线与底面成的角，由此能求出结果．
解答 
解：∵这个球面的表面积为64π，
∴4πR2=64π，解得R=4，
∵直棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2$\sqrt{2}$正方形，棱柱的顶点都在同一个球面上，
∴BD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=4，BD1=2R=8，
∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1BD是该四棱柱的对角线与底面成的角，
∵cos∠D1BD=$\frac{BD}{B{D}_{1}}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠D1BD=60°．
∴该四棱柱的对角线与底面成的角是60°．
故选：D．
点评 本题考查线面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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4．
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已知P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1上任意一点，过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值是（ ）| A． | -$\frac{3}{8}$ | B． | $\frac{3}{16}$ | C． | -$\frac{\sqrt{3}}{8}$ | D． | 不能确定 |