Question

已知点A（-2，0）、B（2，0），动点P满足∠APB=2θ（θ∈（0，

π

2

））．给出以下命题：
①当θ=

π

4

时，动点P的轨迹方程为x²+y²=4，y≠0；
②若θ（θ≠

π

4

）为定值，则点P的轨迹是以Q（0，

2

tan2θ

）为圆心、QA为半径的一段圆弧；
③若|PA|•|PB|（cos²θ-

1

2

）=2，则动点P的轨迹方程为x²+y²=8；
④若动点P恰在椭圆

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0）上，则△PAB的面积为b²tanθ．
其中，正确说法的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对四个选项，进行分析，即可得出结论．

解答： 解：①当θ=

π

4

时，AP⊥BP，动点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x²+y²=4，y≠0，正确；
②若θ（θ≠

π

4

）为定值，则tan2θ=

y x-2 - y x+2

1+ y x-2 • y x+2

=

4y

x2+y2-4

，∴点P的轨迹是以Q（0，

2

tan2θ

）为圆心、QA为半径的圆，故不正确；
③若|PA|•|PB|（cos²θ-

1

2

）=2，则|PA|•|PB|cos2θ=4，∴PA²+PB²-AB²=8，∴PA²+PB²=24，可得x²+y²=8，动点P的轨迹方程为x²+y²=8，正确；
④若动点P恰在椭圆

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0）上，点A（-2，0）、B（2，0），△PAB为焦点三角形，则△PAB的面积为b²tanθ，正确．
故答案为：①③④

点评：本题考查椭圆方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．