Question

已知实数x，y满足

x2

4

+

y2

2

=1，求x²+y²-x的最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据方程和平方关系设

x=2cosθ y= 2 sinθ

，代入式子利用配方法化简，利用二次函数的性质和余弦函数的值域求出式子的最小值．

解答： 解：因为实数x，y满足

x2

4

+

y2

2

=1，所以设

x=2cosθ y= 2 sinθ

，θ为参数，
则x²+y²-x=4cos²θ+2sin²θ-2cosθ=2+2cos²θ-2cosθ
=2+2(cosθ-

1

2

)2-

1

2

=2(cosθ-

1

2

)2+

3

2

，
当(cosθ-

1

2

)2=0时，式子取到最小值是

3

2

，
所以x²+y²-x的最小值是

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程的点的坐标参数设法，余弦函数的值域，二次函数的性质，难度不大．