Question

在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
（1）求轨迹为的方程；
（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

Answer 1

（1）；（2）当时直线与轨迹恰有一个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点； 当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

试题分析：（1）设点，根据条件列出等式，在用两点间的距离公式表示，化简整理即得；（2）在点的轨迹中，记，，设直线的方程为，联立方程组整理得 ，分类讨论①时；② ；③ 或；④ ，确定直线与轨迹的公共点的个数.
（1）设点，依题意，，即，
整理的，
所以点的轨迹的方程为.
（2）在点的轨迹中，记，，
依题意，设直线的方程为，
由方程组得     ①
当时，此时，把代入轨迹的方程得，
所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.
当时，方程①的判别式为      ②
设直线与轴的交点为，则由，令，得③
（ⅰ）若，由②③解得或.
即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，
故此时直线与轨迹恰有一个公共点.
（ⅱ）若或，由②③解得或，
即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.
当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.
故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.
（ⅲ）若，由②③解得或，
即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.
故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.
综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；
当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；
当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.