题目内容

16．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（　　）
A．$\sqrt{3}$d，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$dB．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$d，$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$dC．$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$d，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$dD．$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$d，$\sqrt{3}$d

分析 据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．

解答 解：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2=d2-x2，
∴xy2=x（d2-x2）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d2-x2）（0＜x＜d），
得f′（x）=d2-3x2，令f′（x）=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍去）．
当0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，f′（x）＞0；当$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d时，f′（x）＜0，
因此，当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d时，f（x）取得极大值，也是最大值．
∴y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$d
故选：C．

点评 考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．

练习册系列答案
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