Question

11．如图所示在圆锥PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，⊙O的直径AB=2，C是$\widehat{AB}$上的点（点C不与AB重合），D为AC中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求圆锥PO的表面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PD⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出母线，即可求圆锥PO的表面积．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA=PD，D是AC中点，
∴PD⊥AC．…（2分）
又∵OA=OC，D是AC中点，
∴OD⊥AC．…（4分）
又∵PD、OD?平面POD，且PD∩OD=D，
∴AC⊥平面POD．…（6分）
∴平面POD⊥平面PAC．…（8分）
（Ⅱ）解：∵$PO=\sqrt{2}$，底面半径$r=OB=\frac{1}{2}AB=1$，∴母线$l=PB=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$
∴表面积$S=π{r^2}+πrl=π×1+π×1×\sqrt{3}=（{1+\sqrt{3}}）π$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直、平面与平面垂直的证明，考查表面积的计算，属于中档题．