Question

1．函数f（x）满足：对任意α，β∈R，都有f（α•β）=α•f（β）+β•f（α），且f（2）=2，数列{a_n}满足a_n=f（2ⁿ）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$（$\frac{{a}_{n}}{n}$-1），c_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$，记T_n=$\frac{1}{n}$（c₁+c₂+…+c_n）（n∈N₊）．问：是否存在正整数M，使得当n∈N₊时，不等式T_n＜$\frac{M}{584}$恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）及其数列的单调性、不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=f（2ⁿ），∴${a_1}=f（{2^1}）=2$，
∵${a_{n+1}}=f（{{2^{n+1}}}）=f（{2•{2^n}}）=2•f（{2^n}）+{2^n}•f（2）$，
∴${a_{n+1}}=2•{a_n}+{2^{n+1}}⇒\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{a_n}{2^n}=1$，
∴$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$为等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{a_n}{2^n}=n⇒{a_n}=n•{2^n}$．
$（2）_{\;}^{\;}∵{a_n}=n•{2^n}$，∴$\frac{a_n}{n}={2^n}⇒{b_n}={2^n}（{{2^n}-1}）$，
∴${c_n}=\frac{b_n}{{{b_{n+1}}}}=\frac{{{2^n}（{{2^n}-1}）}}{{{2^{n+1}}（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{{{2^{n+1}}-2}}{{4（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{{4（{{2^{n+1}}-1}）}}＜\frac{1}{4}$，
∴${c_1}+{c_2}+…+{c_n}＜\frac{n}{4}⇒{T_n}=\frac{1}{n}（{{c_1}+{c_2}+…+{c_n}}）＜\frac{1}{4}$．
∴不等式T_n＜$\frac{M}{584}$恒成立?$\frac{M}{584}$$≥\frac{1}{4}$?M≥146．
∴存在满足条件的正整数M，其最小值为146．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．