Question

已知函数f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期为3π．当x∈[

π

2

，

3π

4

]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：由三角函数中的恒等变换可得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1，根据周期公式即可解得ω，即可求当解析式f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1，由

π

2

≤x≤

3π

4

，根据正弦函数的性质即可求得函数f（x）的最小值．

解答： 解：f(x)=

3

sinωx-2sin2

ωx

2

=

3

sin（ωx）-2•

1-cos(ωx)

2

=

3

sin（ωx）+cos（ωx）-1
=2sin（ωx+

π

6

）-1 …（4分）
依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

，
所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-1．…（6分）
由

π

2

≤x≤

3π

4

，得  

π

2

≤

2

3

x+

π

6

≤

2π

3

，…（8分）
所以，当

2

3

x+

π

6

=

2π

3

，即x=

3π

4

时，…（10分）
f（x）_最小值=2×

3

2

-1=

3

-1．…（12分）

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基础题．