题目内容

16．过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$中心的直线交椭圆于A，B两点，右焦点为F2（c，0），则△ABF2的最大面积为（　　）
A．b2B．abC．acD．bc

分析 先设点A，B的纵坐标，然后表示出△ABF2的面积，根据|OF2|为定值c，将问题转化为求y1的最大值的问题，根据|y1|的范围可求得最后答案．

解答 解：设面积为S，点A的纵坐标为y1，由于直线过椭圆中心，故B的纵坐标为-y1，
三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|OF2|•|y1|+$\frac{1}{2}$|OF2|•|-y1|=|OF2|•|y1|，
由于|OF2|为定值c，三角形的面积只与y1有关，
又由于|y1|≤b，
显然，当|y1|=b时，三角形的面积取到最大值，为bc，此时，直线为y轴，
故选：D．

点评 本题主要考查椭圆的基本性质的应用和三角形面积的最大值问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点也是热点问题．

练习册系列答案
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