Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，点O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设不与坐标轴平行的直线l₁：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，设线段AB中点为M．
  （i）证明：直线OM的斜率与直线l₁的斜率之积为定值；
  （ii）如图，当m=-k时，过点M作垂直于l₁的直线l₂，交x轴于点Q，求$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）（i）将直线y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韦达定理、斜率公式能证明直线OM的斜率与直线l₁的斜率之积为定值．
（ii）当m=-k时，直线l₁：y=k（x-1），P（1，0），从而M（$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$），直线l₂方程为y-$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）$，从而|PQ|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，由此利用弦长公式能求出$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，点O为坐标原点，
∴b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
解得a²=4，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{4}^{\;}}$+y²=1．
证明：（Ⅱ）（i）将直线y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{0}=-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+m=\frac{m}{1+4{k}^{2}}$，
∴M（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
∴${k}_{OM}•{k}_{{l}_{1}}$=$\frac{\frac{m}{1+4{k}^{2}}}{-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}}$•k=-$\frac{1}{4k}•k=-\frac{1}{4}$．
解：（ii）当m=-k时，由（i）知直线l₁：y=k（x-1），∴P（1，0），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴M（$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$），
∴直线l₂方程为y-$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）$，
令y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，∴Q（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0），
∴|PQ|=|1-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|AB|}{|PQ|}$=$\frac{\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}}{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=4$\sqrt{3-\frac{2}{1+{k}^{2}}}$，
∵k≠0，∴1＜3-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$＜3，
∴$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范围是（4，4$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，考查两线段比值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．