Question

设函数f（x）=e^x+e^-x
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）的关系；
（2）设0＜x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）与0的关系，得到f（x₁）与f（x₂）大小，根据单调性的定义证明．

解答： （1）解：∵f（x）的定义域为R 
∵f（-x）=e^-x+e^x=f（x）（3分）
∴f（x）为偶函数                                         （5分）
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2=ex1-ex2+

1

ex1

-

1

ex2

═(ex1-ex2)(1-

1

ex1ex2

)，
因为ex1-ex2＜0，
当x＞0时，e^x＞1
∴ex1＞1，ex2＞1（11分）
∴ex1ex2＞1，

1

ex1ex2

＜1
1-

1

ex1ex2

＞0（12分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0（13分）
∴f（x）在（0，+∞）上单调增函数．（14分）

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性的运用；关键是利用定义解答．