Question

已知函数f（x）=

2x+a

2x-a

，a∈R．
（1）若a=2，探究函数y=f（x）的单调性；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，再由指数函数的单调性，即可判断；
（2）对a讨论，a=0，a＞0，a＜0三种情况，先求定义域，判断是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可判断奇偶性．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=

2x+2

2x-2

=1+

4

2x-2

，
定义域为{x|x≠1且x∈R}，
当x＞1时，2^x＞2，且2^x-2递增，

4

2x-2

递减，则f（x）递减；
当x＜1时，2^x＜2，且2^x-2递增，

4

2x-2

递减，则f（x）递减．
则有f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上递减．
（2）f（x）=

2x+a

2x-a

=1+

2a

2x-a

，
若a≤0，则函数的定义域为R，
f（-x）=1+

2a

2-x-a

，若f（-x）=f（x），则有a=0；
若f（-x）=-f（x），则有

2-x+a

2-x-a

=

2x+a

a-2x

，
解得，a=-1．
若a＞0时，若a≠1，则2^x≠a，解得，x≠log₂a，
则定义域不关于原点对称，f（x）不具奇偶性；
若a=1，则有定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（-x）+f（x）=

2-x+1

2-x-1

+

2x+1

2x-1

=0，则为奇函数．
综上可得，当a=0时，f（x）为偶函数；
当a=±1时，f（x）为奇函数；
当a≠0，且a≠±1时，f（x）为非奇非偶函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查定义法的运用，属于中档题和易错题．