Question

已知函数f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值和f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式可得

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），再利用降幂公式可求得f（x）=2cos（2x-

π

3

），于是可求f（

π

3

）的值和f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，利用余弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）=2cos（2x-

π

3

）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

3

sinx-cosx=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2sin（x-

π

6

），
∴f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²
=2-4sin2(x-

π

6

)
=2-2（1-cos（2x-

π

3

））
=2cos（2x-

π

3

），
∴f（

π

3

）=2cos

π

3

=1；
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
∴-1≤2cos（2x-

π

3

）≤2，
∴函数f（x）=2cos（2x-

π

3

）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值为2，最小值为-1．

点评：本题考查三角函数的最值，考查辅助角公式与降幂公式的综合应用，突出考查余弦函数的单调性与最值，属于中档题．