Question

9．已知函数f（x）=xe^x-a（x-1）（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求a的值及f（x）的单调区间
（2）若存在实数x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），使得f（x₀）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a＜$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上有解，设h（x）=$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+1）e^x-a，
由f′（0）=0，解得：a=1，
故f′（x）=（x+1）e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）若f（x）＜0在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上有解，
即xe^x＜a（x-1），a＜$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$在x∈（0，$\frac{1}{2}$）上有解，
设h（x）=$\frac{{xe}^{x}}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则h′（x）=$\frac{{e}^{x}{（x}^{2}-x-1）}{{（x-1）}^{2}}$＜0，
故h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）的值域是（-$\sqrt{e}$，0），
故a＜h（0）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．