Question

18．已知点P为棱长等于2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内部一动点，且$|{\overrightarrow{PA}}|=2$，则$\overrightarrow{P{C_1}}•\overrightarrow{P{D_1}}$的值达到最小时，$\overrightarrow{P{C_1}}$与$\overrightarrow{P{D_1}}$夹角大小为90°．

Answer 1

分析 以D为原点，DA、DC、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
利用坐标表示$|{\overrightarrow{PA}}|=2$，则点P的轨迹是以A为球心，2为半径的球面一部分；
计算$\overrightarrow{P{C}_{1}}$•$\overrightarrow{P{D}_{1}}$=x²+（y-1）²+（z-2）²-1，
它表示点P到点M（0，1，2）的距离的平方再减去1；
由图形知P为AM与所在的球面交点时，$\overrightarrow{P{C_1}}•\overrightarrow{P{D_1}}$的值最小，
求出点P的坐标，利用数量积求出$\overrightarrow{P{C_1}}$与$\overrightarrow{P{D_1}}$的夹角．

解答 解：以D为原点，DA、DC、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示；
由棱长为2，得A（2，0，0），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），
设P（x，y，z），
由且$|{\overrightarrow{PA}}|=2$，则（x-2）²+y²+z²=4①，
点P的轨迹表示以A为球心，以2为半径的球面的一部分；
又$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（-x，2-y，2-z），$\overrightarrow{P{D}_{1}}$=（-x，-y，2-z），
∴$\overrightarrow{P{C}_{1}}$•$\overrightarrow{P{D}_{1}}$=x²-2y+y²+（z-2）²
=x²+（y-1）²+（z-2）²-1②，
它表示点P到点M（0，1，2）的距离的平方再减去1；
由图形知，当P为AM与①所在的球面交点时，$\overrightarrow{P{C_1}}•\overrightarrow{P{D_1}}$的值最小，
此时AM=3，AP=2；
∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{2}{3}$，z=$\frac{4}{3}$；
∴$\overrightarrow{P{C_1}}•\overrightarrow{P{D_1}}$=${（\frac{2}{3}）}^{2}$+${（\frac{2}{3}-1）}^{2}$+${（\frac{4}{3}-1）}^{2}$-1=0，
∴$\overrightarrow{P{C_1}}$与$\overrightarrow{P{D_1}}$夹角为90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了空间直角坐标系与空间向量的应用问题，是较难的题目．