Question

设△AOB的顶点均在抛物线y²=2px（p＞O）上，其中O为坐标原点，若△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：如图所示，由于△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F(

p

2

，0)，可得AB⊥x轴．设A（s，t），B（s，-t），t²=2ps（s＞0）．利用

AF

•

OB

=0即可解出三s，t．

解答： 解：如图所示，∵△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F(

p

2

，0)，
∴AB⊥x轴．
设A（s，t），B（s，-t），t²=2ps（s＞0）．
∵AF⊥OB，
∴

AF

•

OB

=(

p

2

-s，-t)•(s，-t)=s(

p

2

-s)+t2=0，
把t²=2ps代入上式可得：s(

p

2

-s)+2ps=0．
化为s=

5p

2

，∴t²=5p²．
∴△AOB的面积S=

1

2

×

5p

2

×2

5

p=

5 5 p2

2

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、三角形的垂心的性质，考查了推理能力与与计算能力，属于中档题．