Question

在正项等差数列{a_n}中，a₁=2，b_n=a_n+n-1，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=

1

anbn

，设{b_n}的前n项和为Tn，求f（n）=T_n+

an

bn

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设{a_n}的公差为d，可表示a_n，b_n，由b₁，b₃，b₉成等比数列，有b1b9=b32，得关于d的方程，再由a_n＞0，可得d=1，从而可得结果；
（2）利用裂项相消法可求得T_n=

n

2(n+1)

，则f（n）=

n

2(n+1)

+

n+1

2n

=

1

2

(

n

n+1

+

n+1

n

)，令t=

n

n+1

=1-

1

n+1

，易求t范围，由关于t的单调性可得最大值；

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，则a_n=2+（n-1）d，b_n=a_n+n-1=n+1+（n-1）d，
由b₁，b₃，b₉成等比数列，有b1b9=b32，即2（8d+10）=（2d+4）²，得d²=1，
又a_n＞0，故d=1，即a_n=n+1，b_n=2n；
（2）c_n=

1

anbn

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
故Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

，
于是f（n）=

n

2(n+1)

+

n+1

2n

=

1

2

(

n

n+1

+

n+1

n

)，
令t=

n

n+1

=1-

1

n+1

，则t是关于n的增函数，当n=1是，t=

1

2

，
故t∈[

1

2

，1)，而g（t）=

1

2

(t+

1

t

)在t∈[

1

2

，1)上是减函数，
∴t=

1

2

，即n=1时，f（n）的最大值为

5

4

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查函数思想，考查学生分析解决问题的能力，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要使熟练．