Question

下列五个命题：
（1）S_n是等比数列{a_n}的前n项和且S_n≠0，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列；
（2）若{a_n}成等差数列，且常数c＞0，则数列{can}为等比数列；
（3）常数列既是等差数列，又是等比数列；
（4）等比数列{a_n}的前和为Sn=

a1(1-qn)

1-q

；
（5）若数列{a_n}的前n项和Sn=3n-c，则c=1是{a_n}为等比数列的充分必要条件；
其中是正确命题的序号为

 

．（将所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等比数列前n项和公式和等比数列的定义能判断（1）的正误；利用等差数列通项公式和等比数列定义能判断（2）的正误；举出反例能说明（3）和（4）均不正确；利用等比数列定义能判断（5）的正误．

解答： 解：∵

S2n-Sn

Sn

=

a1(1-q2n) 1-q - a1(1-qn) 1-q

a1(1-qn) 1-q

=qⁿ，

S3n-S2n

S2n

=

a1(1-q3n) 1-q - a1(1-q2n) 1-q

a1(1-q2n) 1-q

=qⁿ，
∴S_n是等比数列{a_n}的前n项和且S_n≠0，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列，
故（1）正确；
∵{a_n}成等差数列，且常数c＞0，
∴

cn+1

cn

=

can+d

can

=c^d，
∴数列{can}为等比数列，
故（2）正确；
由0构成的常数列是等差数列，但不是等比数列，
故（3）不正确；
当等比数列{a_n}的公比q=1时，等比数列的前n项和为S_n=na₁，
故（4）不正确；
∵数列{a_n}的前n项和Sn=3n-c，
∴a₁=S₁=3-c，a₂=S₂-S₁=9-3=6，a₃=S₃-S₂=27-9=18，
∵{a_n}是等比数列?36=（3-c）×18，
解得c=1，
∴c=1是{a_n}为等比数列的充分必要条件，
故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（5）．

点评：本题考查命题的真假判断，若判断一个命题为真命题，要给出严格的证明；若判断一个命题为假命题，只需举出反例即可．