Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，BB₁=4，E为AD的中点，点P在线段C₁E上，则点P到直线BB₁的距离的最小值为（　　）

• A、2
• B、

  10

• C、

  3 10

  5

• D、

  2 5

  5

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：计算题,转化思想,空间位置关系与距离

分析：如图所示，取A₁D₁的中点F，连接EF，EC₁，利用线面平行的性质即可得到C₁C∥平面D₁EF，进而得到异面直线D₁E与C₁C的距离．

解答： 解：如图所示，取A₁D₁的中点F，连接EF，EC₁，
∵EF∥CC₁，EF=CC₁=BB₁，BB₁⊥底面ABCD，
∴四边形EFB₁B是矩形．
∴BB₁∥EF，
又EF?平面C₁EF，BB₁?平面C₁EF，∴BB₁∥平面C₁EF．
∴直线B₁B上任一点到平面C₁EF的距离是两条异面直线C₁E与BB₁的距离．
过点B₁作B₁M⊥C₁F，
∵平面C₁EF⊥平面A₁B₁C₁D₁．
∴B₁M⊥平面C₁EF．
过点M作MP∥EF交C₁E于点P，则MP∥C₁C．
取B₁N=MP，连接PN，则四边形MPNB₁是矩形．
可得NP⊥平面C₁EF，
在△B₁C₁F中，B₁M•C₁F=B₁C₁•A₁B₁，又C₁F=

AB2+( 1 2 AD)2

=

10

，得B₁M=

3×2

10

=

3 10

5

．
∴点P到直线CC₁的距离的最小值为

3 10

5

．
故选：C．

点评：本题考查异面直线的距离的求法，熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．考查转化思想的应用．