Question

5．斜率为$\sqrt{3}$的直线l经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，若AB中点到抛物线准线的距离为4，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直线过其焦点且斜率为$\sqrt{3}$，可得方程，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得p．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
抛物线y²=2px的焦点F为（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由于直线过其焦点且斜率为$\sqrt{3}$，
可得方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
代入抛物线方程可得12x²-20px+3p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
∵AB的中点到抛物线准线的距离为4，
∴$\frac{5}{6}$p+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=3．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式，属于中档题．