Question

12．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过P点作斜率为k₁，k₂的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D．若满足|AP||PC|=|BP||DP|，问k₁+k₂是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：c=1，又b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．AC：y=k₁（x-1）+1，BD：y=k₂（x-1）+1，分别与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）∵F为椭圆的右焦点，P（1，1）为椭圆E内一点，PF⊥x轴．
∴c=1，又b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
AC：y=k₁（x-1）+1，与椭圆联立，得$（{4k_1^2+3}）{x^2}+8（{1-{k_1}}）{k_1}x+4{（{{k_1}-1}）^2}-12=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_3}=\frac{{8{k_1}（{{k_1}-1}）}}{4k_1^2+3}\\{x_1}{x_3}=\frac{{4k_1^2-8{k_1}-8}}{4k_1^2+3}\end{array}\right.$，
$|{AP}||{PC}|=（{1+{k^2}}）|{{x_1}-1}||{{x_3}-1}|=（{1+{k^2}}）|{{x_1}{x_3}-{x_1}-{x_3}+1}|=\frac{{5（{k_1^2+1}）}}{4k_1^2+3}$，
同理，$|{BP}||{PD}|=\frac{{5（{k_2^2+1}）}}{4k_2^2+3}=|{AP}||{PC}|=\frac{{5（{k_1^2+1}）}}{4k_1^2+3}$．
故$k_1^2=k_2^2$，∴k₁+k₂=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．