Question

7．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，a，b∈R，当x=-1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；
（1）求f（x）解析式；
（2）关于x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，
（2）设|x+1|=t，t≥0，得到t²-t+k-3=0，由x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有两个不相等的实数解，得到关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．

解答 解：（1）x=-1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0，
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，f（-1）=a-b+1=0，
解得a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
（2）：f（x）=|x+1|-k+3，
∴x²+2x+1=|x+1|-k+3，
即（x+1）²=|x+1|-k+3，
设|x+1|=t，t≥0，
∴t²-t+k-3=0，
∵x的方程f（x）=|x+1|-k+3恰有两个不相等的实数解，
∴关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，
∴△=1-4（k-3）=0，或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4（k-3）＞0}\\{k-3＜0}\end{array}\right.$
解得k=$\frac{13}{4}$，或k＜3，
故有k的取值范围为{k|k=$\frac{13}{4}$，或k＜3}

点评 本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题．