Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且它的前n项和S_n=（

an+1

2

）²-

1

4

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an+1

sn2

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得4S_n=an2+2an，从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由此得到{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，进而求出a_n=2n．
（2）由b_n=

an+1

Sn2

=

2n+1

(n2+n)2

=

2n+1

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的各项均为正数，且它的前n项和S_n=（

an+1

2

）²-

1

4

，
∴4S_n=an2+2an，①
∴n≥2时，4Sn-1=an-12+2an-1，②
①-②，得：4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=2，
又S1=a1=(

a1+1

2

)2-

1

4

，解得a₁=2或a₁=0，
{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵S_n=（

an+1

2

）²-

1

4

=（

2n+1

2

）²-

1

4

=n²+n，
∴b_n=

an+1

Sn2

=

2n+1

(n2+n)2

=

2n+1

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=[1-

1

4

+

1

4

-

1

9

+…+

1

n2

-

1

(n+1)2

]
=1-

1

(n+1)2

=

n2+2n

(n+1)2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意构造法和裂项求和法的合理运用．