Question

已知函数f（x）=2sinx•cosx+2mcos²x．
（1）当m=

3

时，求函数f（x）的周期，在区间[0，

π

2

]上的值域；
（2）若m＜0，求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：解：（1）当m=

3

时，利用三角函数恒等式，化简f（x），求出周期T以及f（x）的值域；
（2）化简f（x），求出函数的导数f′（x），利用f′（x）=0，求出x的值，从而求出f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵m=

3

，
∴f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x
=sin2x+

3

+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
∴周期T=

2π

2

=π；
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）∈[0，2+

3

]；
（2）∵f（x）=2sinxcosx+2mcos²x
=sin2x+mcos2x+m，
∴f′（x）=2cos2x-2msin2x=2（cos2x-msin2x），
令f′（x）=0，得cos2x-msin2x=0，
解得m=

cos2x

sin2x

，
∴tan2x=

1

m

，
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x=π+arctan

1

m

，
∴x=

π

2

+

1

2

arctan

1

m

；
∴f（x）的最小值是
f（x）_min=sin2（

π

2

+

1

2

arctan

1

m

）+mcos2（

π

2

+

1

2

arctan

1

m

）+m
=-sin（arctan

1

m

）-mcos（arctan

1

m

）+m
设sin（arctan

1

m

）=t，
则t=-

1

1 tan2(arctan 1 m ) +1

=-

1

m2+1

，
∴cos（arctan

1

m

）=

1-t2

=

-m

m2+1

，
∴f（x）的最小值为
f（x）_min=

1

m2+1

-m•

-m

m2+1

+m=

1+m2

m2+1

+m=

1+m2

+m．

点评：本题考查了三角函数恒等式的化简问题，也考查了利用导数求函数最值的问题，是综合性题目，属于难题．