Question

点O、A、B依次在直线l上，且|OA|=4|AB|，过B作直线l的垂线，M是这一垂线上的动点，以O为圆心，OA为半径作圆，ME、MF是圆O的两条切线，E、F为切点，求△MEF的垂心H的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：以O为原点，直线OA为x轴建立坐标系，T为OM与圆的交点，N为EF与OM的交点，确定T就是H．又因为OM⊥EF，ON⊥ME，所以OE²=ON•OM，即可得出结论．

解答： 解：以O为原点，直线OA为x轴建立坐标系，T为OM与圆的交点，N为EF与OM的交点，记AB=1．以O为圆心的圆方程为x²+y²=16，连结OE，OF．因为OF⊥MF，ET⊥MF，所以OF∥ET，
同理OE∥TF，又OE=OF，所以OETF是菱形．
所以2ON=OT，即T就是H．又因为OM⊥EF，ON⊥ME，所以OE²=ON•OM．
设点H坐标为（x，y）．
点M坐标为（5，b），则点N坐标为（

x

2

，

y

2

），将坐标代入OE²=ON•OM，再由

b

5

=

y

x

得(x-

16

5

)2+y2=(

16

5

)2．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．