Question

已知向量

m

=（b-a，c-b），

n

=（sinB+sinA，sinC），

m

⊥

n

其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．
（1）求角A的大小；
（2）求sinB•sinC的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；
（2）利用三角形的内角和定理、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(b-a)(sinB+sinA)+(c-b)sinC=0，
即（b-a）（sinB+sinA）=（b-c）sinC，
由正弦定理可得：（b-a）（b+a）=（b-c）c，
整理可得：b²+c²-a²=bc，故cosA=

1

2

．
（2）∵cosA=

1

2

，∴A=

π

3

，∴C=

2π

3

-B，B∈(0，

2π

3

)．
即sinB•sinC=sinB•sin(

2π

3

-B)=

3

2

sinBcosB+

1

2

sin2B=

1

2

sin(2B-

π

6

)+

1

4

．
∵B∈(0，

2π

3

)，∴2B-

π

6

∈(-

π

6

，

7π

6

)．
故sin(2B-

π

6

)∈(-

1

2

，1]，
故sinB•sinC的取值范围为(0，

3

4

]．

点评：本题考查了数量积运算、正弦定理、三角形的内角和定理、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．