Question

9．已知直线l经过点P（2，1），则
（1）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且△OAB的面积为4，求直线l的方程；
（2）若直线l与原点距离为2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，设直线为截距式方程，然后利用面积求未知数；
（2）根据直线斜率的情况分别求直线方程．

解答 解：（1）设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\;（a＞0，b＞0）$则点A（a，0），B（0，b），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\\ \frac{1}{2}ab=4\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=2\end{array}\right.$，
所以直线l：$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$即x+2y-4=0．…（7分）
（2）过P点的直线l₂与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x=2．
若斜率存在，设l的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由已知过P点与原点距离为2，得$\frac{|-2k+1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$．
此时l₂的方程为3x+4y-10=0．综上，可得直线l₂的方程为x=2或3x+4y-10=0．

点评 本题考查了直线方程；熟练掌握直线方程的几种形式，灵活选择方程．