Question

10．已知关于x的不等式|x-2|-|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．
（1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$≥1．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．
（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．

解答 解：（1）由绝对值不等式得|x-2|-|x+3|≥≤|x-2-（x+3）|=5，
若不等式|x-2|-|x+3|≥|m+1|有解，
则满足|m+1|≤5，解得-6≤m≤4．
∴M=4．
（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即$\frac{1}{4}$[（a+b）+（b+c）]=1
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$=$\frac{1}{4}$[（a+b）+（b+c）]（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$）=$\frac{1}{4}$（1+1+$\frac{b+c}{a+b}$+$\frac{a+b}{b+c}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{b+c}{a+b}•\frac{a+b}{b+c}}$）≥$\frac{1}{4}$×4=1，
当且仅当$\frac{b+c}{a+b}$=$\frac{a+b}{b+c}$即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$≥1成立．

点评 本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．