Question

20．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（$\frac{π}{6}$）cosx+sinx，则f′（$\frac{π}{3}$）=0．

Answer 1

分析 求函数的导数，先求出f′（$\frac{π}{6}$）的值，然后代入即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=-f′（$\frac{π}{6}$）sinx+cosx，
令x=$\frac{π}{6}$，则f′（$\frac{π}{6}$）=-f′（$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{6}$=-$\frac{1}{2}$f′（$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{3}{2}$f′（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则f′（$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则f′（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx，
则f′（$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{π}{3}$+cos$\frac{π}{3}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查函数的导数的计算，利用方程法先求出f′（$\frac{π}{6}$）的值是解决本题的关键．