Question

2．已知函数f（x）=2^x-1+a，g（x）=bf（1-x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是a≤-2或a＞-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 化简不等式可得2^x-1+a≥b（2^-x+a），从而令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．

解答 解：f（x）=2^x-1+a，
g（x）=bf（1-x）=b（2^1-x-1+a）=b（2^-x+a），
∵f（x）≥g（x），
∴2^x-1+a≥b（2^-x+a），
令F（x）=2^x-1+a-b（2^-x+a）
=$\frac{{2}^{x}}{2}$+a-$\frac{b}{{2}^{x}}$-ab
=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab，
①若b＜0，则$\underset{lim}{x→-∞}$（$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab）=+∞，
与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，
故不成立；
②若b=0，则F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab在R上是增函数；
即F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$+a≥0的解集为[2，+∞），
故a=-2；
③若b＞0，则F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab在R上是增函数；
即F（x）=$\frac{{2}^{x}}{2}$-$\frac{b}{{2}^{x}}$+a-ab≥0的解集为[2，+∞），
故2+a=b（$\frac{1}{4}$+a），
故b=$\frac{2+a}{\frac{1}{4}+a}$＞0，
故a＜-2或a＞-$\frac{1}{4}$；
综上所述，a≤-2或a＞-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了方程与不等式、函数的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用．