Question

12．如图，网格纸上小方格的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的表面积为（　　）

• A． 14+6$\sqrt{5}$
• B． 28+6$\sqrt{5}$
• C． 28+12$\sqrt{5}$
• D． 36+12$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 几何体为从正方体中切出来的四棱锥，作出直观图，计算各个面的面积．

解答 解：由三视图可知几何体是从边长为4的正方体中切出的四棱锥P-ABCD，作出直观图：
其中A，D为正方体棱的中点，P，B，C是正方体的顶点．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×4×4$=8，S_△PBC=$\frac{1}{2}×4×4$=8，
由勾股定理可得AB=PA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．S_矩形ABCD=4×$2\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
由勾股定理得PC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，PD=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=6，
由余弦定理得cos∠PCD=$\frac{P{C}^{2}+C{D}^{2}-P{D}^{2}}{2PC•CD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sin∠PCD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}$=12．
∴几何体的表面积为8+8+4$\sqrt{5}$+8$\sqrt{5}$+12=28+12$\sqrt{5}$．
故选C．

点评 本题考查了不规则放置的空间几何体的三视图和面积计算，以正方体为模型作出棱锥的直观图是解题关键．