Question

11．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：a_n=$\frac{{b}_{1}}{3+1}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}+\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）利用（1）及其递推关系即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2n（n+1），
∴a₁=4，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n（n+1）-2（n-1）n=4n．
当n=1时上式也成立，∴a_n=4n．
（2）∵a_n=$\frac{{b}_{1}}{3+1}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}+\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$，
∴当n=1时，a₁=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$，解得b₁=16．
当n≥2时，a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{3+1}+\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}+\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
可得：a_n-a_n-1=$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$=4，
∴b_n=4×3ⁿ+4，当n=1时也成立．
∴b_n=4×3ⁿ+4．

点评 本题考查了递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．