Question

已知F₁、F₂分别为椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点,且离心率为，点椭圆C上。

 (1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

 解：(1) 由已知得：，，结合，可解得：     ，

由已知直线F₂M与F₂N的倾斜角互补,

得    

化简,得      

 

整理得 

直线MN的方程为,

    因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)

【思路点拨】（1）由已知条件可得出两个关于的方程，结合，解得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去，得到一个关于的一元二次方程，再设出点的坐标，利用韦达定理得出坐标的关系，然后利用直线F₂M与F₂N的倾斜角互补，列出直线的斜率和截距的等式，化简即可得结论。