Question

一个社会调查机构为了解某社区居民的月收入情况，从该社区成人居民中抽取10000人进行调查，根据所得信息制作了如图所示的样本频率分布直方图．

（Ⅰ）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，试求其中月收入在[2000，2500）（2000元至2500元之间）的人数；
（Ⅱ）为了估计从该社区任意抽取的3个居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率P，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…9的前若干个数字表示月收入在[2000，3000）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）的居民；再以每三个随机数为一组，代表收入的情况．假设用上述随机模拟方法已产生了表中的20组随机数，请根据这批随机数估计概率P的值．
907  966   191   925   271   932   812   458  569  683
431   257   393   027   556   488  730   113   537   989
（Ⅲ）任意抽取该社区的5位居民，用ξ表示月收入在[2000，3000）（元）的人数，求ξ的数学期望与方差．

Answer 1

考点：频率分布直方图,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（I）由频率分布直方图先算出月收入在[2000，2500）的频率v，即可得出应抽取的人数=100v；
（II）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为0.4，因此 可以用数字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民，数字4，5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）的居民，再观察上述随机数得出要求的事件包括的基本事件的个数，再利用古典概型的定义即可得出；
（III）利用二项分布列的计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：月收入在[2000，2500）的频率=0.0002×500=0.1，
∴应抽取的人数为0.1×100=10人．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率=0.0002×500+0.0006×500=0.4 
∴可以用数字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民，数字4，5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）的居民；
观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）的有191，271，932，812，431，393，027，730，共有8个．
而基本事件一共有20个，根据古典概型的定义可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）的概率为P=

8

20

=0.4．
（Ⅲ）由频率分布直方图可知，任意抽取该社区1位居民，月收入在[2000，3000）（元）的概率为0.4，
∴随机变量ξ服从B（5，0.4），
∴Eξ=5×0.4=2，Dξ=5×0.4×（1-0.4）=1.2．

点评：本题综合考查了频率分布直方图的有关知识、古典概型的计算公式、二项分布列、分层抽样等在基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．