Question

已知向量

m

=(cos

ωx

2

，sinωx-

3

3

)， 

n

=(2cos

ωx

2

，

3

)，且x∈R，ω＞0，若函数f（x）=

m

•

n

在一个周期内的图象的最高点A、最低点B和一个零点C构成一个直角三角形的三个顶点．（如图所示）
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若0＜ω＜1，当f（x₀）=-

4 2

3

x0∈[-

14

3

，-

8

3

]，求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的图象,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积运算和三角函数的二倍角公式，化简得到f（x），再有函数的图象，求出ω的值和函数的值域
（2）由（1）得到函数的解析式，再利用两角和的正余弦公式求出f（x₀+1）的值．

解答： 解：（1）f(x)=

m

•

n

=2cos2

ωx

2

+

3

sinωx-1=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)

由对称性可知AB必过f（x）的零点D，
如果角A为直角，则△ACD为等腰直角三角形，高为2
故CD=4，即函数f（x）的周期T=2×4=8，所以

2π

ω

=8⇒ω=

π

4

如果角C为直角，CD=

1

2

AB，即

T

2

=

1

2

( T 2 )2+42

⇒T=

8

3

3

，ω=

3 π

4

综上，ω的值为

π

4

或

3 π

4

，函数f（x）的值域为[-2，2]．…（6分）
（2）因为0＜ω＜1，所以ω=

π

4

，即f(x)=2sin(

π

4

x+

π

6

)
∵f(x0)=-

4 2

3

 ∴2sin(

π

4

x0+

π

6

)=-

4 2

3

，
即sin(

π

4

x0+

π

6

)=-

2 2

3

…（8分）
由x0∈[-

14

3

，-

8

3

]，
可得

π

4

x0+

π

6

∈[-π，-

π

2

]，
所以cos(

π

4

x0+

π

6

)=-

1

3

…（10分）
f（x₀+1）=2sin[（

π

4

x₀+

π

6

）+

π

4

]
=2sin[（

π

4

x₀+

π

6

）cos

π

4

+cos[（

π

4

x₀+

π

6

）sin

π

4

]
=2(-

2 2

3

×

2

2

-

1

3

×

2

2

)=-

4+ 2

3

…（12分）

点评：本题主要考察三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系、两角和的正余弦公式、两倍角公式等基础知识，考查运算能力，数形结合、整体转化等数学思想，三角函数以向量为载体的形式给出，在三角函数图象中巧妙嵌入直角三角形，活而不难、平中见奇．