Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中为常数．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当0＜-

1

a

＜e时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为-3，求a的值；
（Ⅲ）当a=-1时，试推断方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有实数根．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，再代入求导f′（x）=

1-x

x

，从而确定函数的单调区间；
（Ⅱ）令f′（x）=a+

1

x

=0解得x=-

1

a

；从而确定单调性及最值及即可；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=-1时，f（x）_max=f（1）=-1，从而得|f（x）|≥1；再令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，则g′（x）=

1-lnx

x2

；从而求最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=

1-x

x

；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；
所以，f（x）的单调增区间为（0，1）．
（Ⅱ）因为f′（x）=a+

1

x

，
令f′（x）=0解得x=-

1

a

；
由f′（x）＞0解得0＜x＜-

1

a

，由f′（x）＜0解得-

1

a

＜x＜e；
从而f（x）的单调增区间为(0，-

1

a

)，减区间为(-

1

a

，e)；
所以，f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)=-3；
解得，a=-e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=-1时，f（x）_max=f（1）=-1，
所以，|f（x）|≥1；
令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，则g′（x）=

1-lnx

x2

；
当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0；
从而g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
所以，g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

＜1；
所以，|f（x）|＞g（x），
即|f（x）|＞

lnx

x

+

1

2

；
所以，方程|f（x）|=

lnx

x

+

1

2

没有实数根．

点评：本题考查了导数的综合应用及存在性命题的处理方法，属于中档题．