Question

19．设命题p：?x₀∈（-2，+∞），6+|x₀|=5，命题q：?x∈（-∞，0），x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥4．命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数．
（1）写出命题r的否命题；
（2）判断命题￢p：p∨r，p∧q的真假，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据否命题的定义，否定题设也否定结论，求出r的否命题即可；
（2）根据原命题的真假判断复合命题的真假即可．

解答 解：（1）命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数，
则命题r的否命题是：若a＜1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）不是增函数；
（2）命题p：?x₀∈（-2，+∞），6+|x₀|=5，是假命题；
命题q：?x∈（-∞，0），x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{4}$=4，当且仅当x=-$\sqrt{2}$时“=”成立，
故命题q是真命题；
对于f（x）=ax+cosx，a≥1，f′（x）=a-sinx≥a-1≥0，
故命题r：若a≥1，则函数f（x）=ax+cosx（x∈R）是增函数，是真命题；
故命题￢p是真命题，
p∨r是真命题，p∧q是假命题．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查否命题的定义，是一道中档题．