Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦点，若点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先利用双曲线双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦点，求得a²+b²=4，再利用点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，求得交点坐标，从而可求双曲线的标准方程，进而可求双曲线的离心率．

解答： 解：不妨设P是两曲线在第一象限的交点，P（x，y）
由题意，椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的焦点为（±2，0）
∵双曲线线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦点
∴a²+b²=4①
∵点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵椭圆的左准线方程为：x=-

a2

c

=-

9

2

∴

4

x+ 9 2

=

2

3

∴x=

3

2

∵P在椭圆

x2

9

+

y2

5

=1上
∴y²=

15

4

∵P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

9 4

a2

-

15 4

b2

=1②
由①②得：b²=3，a²=1，
∴c=2，
∴e=

c

a

=2．
故答案为：2．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆的定义的运用，属于中档题．