Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右两个顶点分别是A₁，A₂，左右两个焦点分别是F₁，F₂，P是双曲线上异于A₁，A₂的任意一点，则下列命题中真命题为

 

．
①||PA₁|-|PA₂||=2a；
②直线PA₁，PA₂的斜率之积等于定值

b2

a2

；
③使得△PF₁F₂为等腰三角形的点P有且仅有四个；
④若

PA1

•

PA2

=b²，则

PF1

•

PF2

=0；
⑤由P点向两条渐近线分别作垂线，垂足为M，N，则△PMN的面积为定值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线定义，①错误；利用斜率公式，求出直线PA₁，PA₂的斜率之积；分类讨论，可得使得△PF₁F₂为等腰三角形的点P有八个；利用向量的数量积公式，可得结论；△PMN的面积S=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN=

a2b2

2c2

sin∠MON，而∠MON为定角，则△PMN的面积为定值，⑤正确

解答： 解：由双曲线定义，①错误；
设P（x₀，y₀），由A₁（-a，0），A₂（a，0），∴kPA1•kPA2=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

，
又

x02

a2

-

y02

b2

=1，∴y02=

b2

a2

(x02-a2)，kPA1•kPA2=

b2

a2

，故②正确；
若P在第一象限，则当PF₁=2c时，PF₂=2c-2a，△PF₁F₂为等腰三角形；
当PF₂=2c时，PF₁=2c+2a，△PF₁F₂也为等腰三角形；因此使得△PF₁F₂为等腰三角形的点P有八个，故③错误；由

PA1

•

PA2

=x02+y02-a²=b²，∴x02+y02=c2，从而

PF1

•

PF2

=x02+y02-c2=0，故④正确；
两渐近线方程分别为y=

b

a

x和y=-

b

a

x，点P到两渐近线的距离分别为|PM|=

|bx0-ay0|

c

，|PN|=

|bx0+ay0|

c

，则|PM|•|PN|=

|b2x02-a2y02|

c2

=

a2b2

c2

，不论P点在哪个位置，总有∠MPN=∠MON或∠MPN+∠MON=180°，所以△PMN的面积S=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN=

a2b2

2c2

sin∠MON，而∠MON为定角，则△PMN的面积为定值，⑤正确．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查双曲线的性质，考查数量积公式，考查学生的计算能力，难度大．