Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）交于两点A，B．
（1）若△OAB的面积为

10

，求k的值；    
（2）已知O为原点，证明OA⊥OB．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）联立可得y²+

y

k

-1=0，利用韦达定理，根据△OAB的面积为

10

，即可求k的值；    
（2）证明x₁x₂+y₁y₂=0，即可证明OA⊥OB．

解答： （1）解：抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）联立可得y²+

y

k

-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-

1

k

，y₁y₂=-1，
∴|y₁-y₂|=

1 k2 +4

，
∵△OAB的面积为

10

，
∴

1

2

•1•

1 k2 +4

=

10

，
∴k=±

1

6

；
（2）证明：∵x₁x₂=（y₁y₂）²=1，y₁y₂=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴OA⊥OB．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．